Hulk

Allikas: Vikipeedia

See artikkel on matemaatika mõistest; teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Hulk (täpsustus).

Hulk on üks nüüdisaegse matemaatika põhimõisteid. Hulga mõiste esialgseks ligikaudseks selgituseks võib öelda, et hulga all mõistetakse objektide (hulgateooria keeles elementide) kogumit (sõltumata objektide arvust).

Näitena tuuakse tavaliselt füüsiliste esemete kogumid: linnuparv, klassitäis õpilasi jne. Matemaatikas on hulkade elemendid siiski matemaatilised objektid, näiteks arvud. Elementide loomusele siiski põhimõttelisi kitsendusi ei ole: nad võivad olla nii konkreetsed füüsilised esemed kui ka abstraktsed objektid. Hulgateooriat hulkade elementide loomus üldiselt ei huvita.

Kuigi sageli määratletakse hulki nende elementide mingi ühise tunnuse järgi, ei pruugi hulga elementidel olla midagi ühist peale selle, et nad on selle hulga elemendid.

Hulgad on igal juhul abstraktsed, mitte füüsilised objektid.

Et hulga elemendid võivad olla abstraktsed elemendid, siis võib üks hulk olla teise hulga element. Hulk võib ka samaaegselt olla teise hulga element ning omada elemente, mis on hulgad.

[redigeeri] Tutvustus

Hulgateooria rajas ja hulga mõistele andis esimesena range väljenduse Georg Cantor 19. sajandi lõpus. Nüüd põhineb peaaegu kogu matemaatika mõistestik hulgateoorial. 20. sajandi lõpupoole on hakatud hulga mõistet kasutama ka juba alghariduses ning isegi alushariduses.

[redigeeri] Hulga määratlemine

Selleks et hulk oleks määratletud, peab iga objekti korral olema kindlaks määratud, kas ta on selle hulga element.

[redigeeri] Määratlemine loomuliku keele väljendiga

Hulkade ühisosa Venni diagrammil

Mõnda hulka saab määratleda loomuliku keele väljendiga, näiteks "Eesti Vabariigi presidendid 20. sajandil" või "kõik paarisarvud 1 ja 191 vahel".

[redigeeri] Määratlemine loetlemise teel

Üks viis hulga formaalseks määratlemiseks on hulga elementide loetlemine, kirjutades need loogeliste sulgude vahele ja eraldades komadega: {Konstantin Päts, Lennart Meri}; {2, 4, 6, ..., 188, 190}. Pika loetelu puhul on matemaatikas kombeks loetleda esimesed kolm elementi, seejärel kirjutada kolm punkti ning lõpuks tuua ära kaks viimast elementi. Vahel siiski ei anna 3 esimest ja 2 viimast elementi küllaldaselt teavet hulga määratlemiseks, samuti võib hulk olla lõpmata suur, mistõttu ei ole võimalik viimaseid elemente märkida.

Sõna otseses mõttes loetleda saab muidugi üksnes lõplikke hulki. Kui loetelus kasutatakse mõttepunkte (olgu siis tegemist lõpliku või lõpmatu hulgaga), siis eeldatakse, et eksplitsiitselt loetletud objektide järgi on arusaadav, milliseid objekte silmas peetakse (sel juhul on need objektid kirjeldatavad mingi tingimusega, näiteks ülaltoodud näites nõutakse implitsiitselt, et hulga elemendid oleksid paarisarvud, mis on suuremad kui 0 ja väiksemad kui 192).

Äsja defineeritud hulkadest esimesse kuulub Lennart Meri, samal ajal kui Arnold Rüütel ja Toomas Hendrik Ilves aga sellesse hulka ei kuulu. Teise hulka kuulub näiteks arv 142, 143 aga mitte.

Hulga määratlemise seisukohast pole elementide järjestusel tähtsust. Näiteks {1, 2, 3} on sama hulk mis {3, 2, 1}. Ülevaatlikkuse huvides kirjutatakse näiteks reaalarvudest koosneva hulga elemendid enamasti siiski kasvavas järjekorras. Ülevaatlikkus võib nõuda ka elementide korrastatud paigutamist muul alusel.

Kui loetelus on mõnd objekti loetletud mitu korda, siis on määratletud sama hulk nagu selle objekti ühekordsel loetlemisel. Ei ole tähtis, mitu korda üks või teine objekt loetelus esineb. Näiteks {1, 2, 3, 1, 2, 3} on sama hulk mis {1, 2, 3}. (Selle poolest erineb hulk multihulgast, mis on elementide kogum, mille puhul on oluline elemendi esinemise kordade arv, kuigi mitte elementide järjekord. Hulga üldistuseks on ka hägus hulk, milles iga objekti korral on määratud, mil määral ta antud hägusasse hulka kuulub; hulkade puhul objekt lihtsalt kuulub või ei kuulu antud hulka.)

Hulka määratlevas loetelus võivad olla kokku pandud erineva loomusega elemendid. Näiteks võib hulga määraleda ka nii: {Lennart Meri, 142}.

Loetlemisel kasutatakse hulga elementide tähistamiseks määravaid kirjeldusi, mis on üldjuhul erinevad tähistatavatest elementidest endist. Samade objektide määravate kirjelduste väljavahetamine hulga elemente ega hulka ennast ei muuda. Näiteks on {taasiseseisvunud Eesti Vabariigi esimene president, 71+71} sama hulk mis {Lennart Meri, 142).

Kui tahetakse nimetada väljendeid endid, siis tähistatakse need vastavalt kokkulepitud tähistusviisile, näiteks jutumärkide abil. {"Lennart Meri", "142"} ei ole sama hulk mis {Lennart Meri, 142}, sest viimasesse kuulub üks inimene ja üks arv, esimesse aga kaks väljendit.

[redigeeri] Määratlemine tingimuse abil

Tingimuse abil esitatud hulga puhul kasutatakse tähistust, kus loogelistes sulgudes on märgitud esiteks, millisest üldisemast hulgast elemendid võetakse, ning siis püstkriipsu järel tingimus, mida elemendid rahuldama peavad. Näiteks:

A = {n $\in$ $\mathbb{N}$ | n on paarisarv, n > 1, n < 191}.

Enne püstkriipsu öeldakse siin, et n on naturaalarvude hulga element.

Tingimus määratleb hulga ka juhul, kui pole teada, millised objektid täpselt seda tingimust rahuldavad. Näiteks altkäemaksu võtnud ametnike hulk on määratletud hoolimata sellest, et me täpselt ei tea, kes sellesse hulka kuuluvad. Tõsi küll, tingimuste sõnastus on sageli ähmased, nii et pole selge, mida täpselt nõutakse. Hulgad on määratletud ainult eeldusel, et tingimused on täiesti täpselt fikseeritud.

Kui hulka määratletakse sõnades, siis iseloomustatakse teda mingi tunnuse kaudu, mis on selle hulga elementidele iseloomulik. Mõnikord juhtub, et tunnus küll sõnastatakse, aga hulka määratleda ikkagi ei õnnestu (Russelli paradoks).

[redigeeri] Tühi hulk

Tühja hulga sümbol

Tühjas hulgas ei ole ühtki elementi. See mõiste on vajalik muu hulgas sellepärast, et hulka peab olema määratletud ka tingimusega, mida ükski objekt ei rahulda. Samuti võimaldab tühja hulga olemasolu üldisi väiteid hulkade kohta lihtsamalt sõnastada.

[redigeeri] Tähistused

Tavaliselt tähistatakse hulki suurtähtedega ja elemente väiketähtedega. Näiteks $x \in A$ tähendab, et $x$ on hulga $A$ element ehk $x$ kuulub hulka $A$ . Kui $x$ ei ole hulga $A$ element ehk $x$ ei kuulu hulka $A$ , siis kirjutatakse: $x \notin A$ .

[redigeeri] Alamhulgad

Hulga A kõik elemendid kuuluvad hulka B: hulk A on hulga B alamhulk ehk osahulk

Hulk on niisugune elementide kogum, et kaks hulka on võrdsed ehk identsed siis ja ainult siis, kui iga ühe hulga element on ka teise hulga element ja ümberpöördult ehk neil on samad elemendid. Kui hulga A kõik elemendid kuuluvad hulka B (siis peab hulgas B olema vähemalt sama palju elemente kui hulgas A), siis öeldakse, et hulk A on hulga B alamhulk ehk osahulk. Seega on hulgad A ja B võrdsed (A=B) parajasti siis, kui A on B alamhulk ja B on A alamhulk. Näiteks naturaalarvude hulk $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, ...} on täisarvude hulga $\mathbb{Z}$ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} alamhulk.

Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks, kui A on B alamhulk, aga B ei ole A alamhulk.

[redigeeri] Lõplikud ja lõpmatud hulgad

Kui hulgas on n elementi, kus n on naturaalarv, siis seda hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks võimsusega n.

Lõpmatul hulgal ei ole naturaalarvulist elementide arvu n, vaid lõpmata palju elemente. Lõpmatud hulgad erinevad lõplikest hulkadest muuhulgas selle poolest, et kui lõpmatust hulgast n (n on naturaalarv) elementi eemaldada, siis tema võimsus säilib: temasse jääb "sama palju" elemente, kui seal enne oli. Näiteks kui eemaldada naturaalarvude hulgast arvud 1 kuni 1 000 000, siis jääb järele hulk, mille võimsus on sama mis naturaalarvude hulgal. On ilmne, et lõplikel hulkadel sellist omadust ei ole: kui lõplikust hulgast eemaldada n elementi, siis hulga võimsus väheneb n võrra.

Võiks arvata, et lõpmatute hulkade võimsused on võrdsed: neil on kõigil "ühepalju" elemente. Osutub aga, et nii see ei ole. Sellest on juttu muuhulgas artiklites Cantori teoreem ja Cantori diagonaaltõestus.

[redigeeri] Hulga defineerimine

Hulga mõiste defineerimine ei ole lihtne, sest see on algmõiste.

Naiivses hulgateoorias hulga mõistet ainult selgitatakse. Georg Cantor ise on öelnud nii: "Hulk on palju, mida me mõtleme ühena."

Mõnikord öeldakse, et hulk on objektide (selle hulga elementide) kogum, mis on määratud nende iseloomuliku omadusega. Siin tuleb silmas pidada, et meil ei õnnestu kõigi hulkade jaoks sääraseid iseloomulikke tunnuseid sõnastada. (Peale selle ei arvesta naiivne hulgateooria, et on selliseid tunnuseid, mille abil hulka määratleda ei õnnestu (Russelli paradoks).

Jääb ebaselgeks, mida pidada elemendi omaduseks. Kas see on objekti omadus, et ta on antud hulga element?

Tänapäeva matemaatikas on elementide omadused määratud ainult eeldatavate elementidevaheliste suhetega (matemaatiliste struktuuridega), mitte elementide endi omadustega. Hulgateooriat õigupoolest elementide omadused üldse ei huvita; tähtis on ainult eeldatav võimalus elemente üksteisest eristada.

Aksiomaatilise hulgateooria mõnes variandis tehakse Russelli paradoksi ja teiste antinoomiate vältimiseks vahet hulgal ja klassil. Kõigepealt vaadeldakse kuuluvusseost (elemendiks olemise seost) ∈ klassideks nimetatavate objektide vahel ning seejärel defineeritakse hulk klassina, mis on mingi klassi element. Hulga täieliku definitsiooni annab aksiomaatilise hulgateooria aksiomaatika.

[redigeeri] Vaata ka

Välja otsitud andmebaasist "http://et.wikipedia.org/wiki/Hulk"

Kategooria: Hulgateooria

Wielka Encyklopedia Wiedzy