Absoluuttinen jatkuvuus
Wikipedia
Matematiikassa reaaliarvoinen funktio f on absoluuttisesti jatkuva annetulla välillä jos kaikille positiivisille luvuille ε on olemassa positiivinen luku δ siten, että aina kun jono pareittain erillisiä välejä [xk, yk], k = 1, ..., n toteuttaa
on voimassa
Jokainen absoluuttisesti jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva ja siten jatkuva. Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva.
Cantorin funktio on kaikkialla jatkuva, mutta ei ole absoluuttisesti jatkuva, kuten ei ole myöskään funktio
äärellisellä välillä, joka sisältää origon. Myöskään f(x) = x2 ei ole absoluuttisesti jatkuva äärettömällä välillä.
- Jos f on absoluuttisesti jatkuva äärellisellä välillä [a,b], se on tällä välillä myös rajoitetusti heilahteleva funktio.
- Jos f on absoluuttisesti jatkuva välillä [a,b], sillä on Lusinin N ominaisuus (eli kaikilla
![L\subseteq [a,b]](http://upload.wikimedia.org/math/0/1/9/019f683fec0661c7341b455a4f6aa3b8.png)
joilla λ(L) = 0, on voimassa λ(f(L)) = 0, missä λ on Lebesguen mitta). - Jos f on absoluuttisesti jatkuva, on f:llä derivaatta melkein kaikkialla.
- Jos f on jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja sillä on Lusinin N-ominaisuus, on se absoluuttisesti jatkuva.
[muokkaa] Mittojen absoluuttinen jatkuvuus
Jos μ ja ν ovat mittoja samassa sigma-algebrassa, on μ absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen jos μ(A) = 0 kaikilla joukoilla A joilla ν(A) = 0. Tälle käytetään merkintää "μ << ν". Siis:
Mittojen absoluuttinen jatkuvuus on refleksiivinen ja transitiivinen relaatio, mutta se ei ole antisymmetrinen. Siten se on esijärjestys, mutta ei osittainen järjestys. Jos μ << ν ja ν << μ, mittojen μ ja ν sanotaan olevan ekvivalentteja. Siten absoluuttinen jatkuvuus indusoi osittaisen järjestyksen kyseisten ekvivalenssiluokkien välille.
Jos μ on merkkinen tai kompleksimitta, sanotaan, että μ on absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen jos sen variaatio |μ| toteuttaa |μ| << ν. Yhtäpitävästi jos jokainen joukko A, jolla ν(A) = 0 on μ-nollajoukko.
Radonin–Nikodymin lause sanoo, että jos μ on absoluuttisesti jatkuva ν:n suhteen ja ν on σ-äärellinen, on μ:llä tiheys eli Radonin–Nikodymin derivaatta ν:n suhteen. Tästä seuraa, että on olemassa ν-mitallinen funktio f = dμ/dν, joka saa arvot [0,∞], jolle kaikilla ν-mitallisilla joukoilla A on voimassa
