Aksiooma
Wikipedia
Aksiooma eli peruslause on matematiikassa peruskäsitteiden epäsuora määritelmä, jota käytetään päättelyssä muiden tulosten todistamiseen.
Matematiikassa mikä tahansa ristiriidaton lausejoukko voidaan asettaa aksioomajärjestelmäksi. Toivottavaa on, että aksioomia ei voida johtaa toisista aksioomista vaan että aksioomajoukko on pienin mahdollinen peruskäsitteiden määrittelemiseen riittävä lausejoukko.
Toivottavaa on myös, että aksioomista voidaan johtaa mahdollisimman paljon lauseita. Aksioomien lisäksi tarvitaan päättelysääntöjä. Matematiikassa päättelysääntöinä käytetään enimmäkseen logiikan päättelysääntöjä. Myös logiikka on aksiomatisoitu. On myös eräitä yksinkertaisia logiikan järjestelmiä, jotka tulevat toimeen pelkillä päättelysäännöillä (Suppesin kehittämä logiikka).
Esimerkiksi geometriassa on käytössä paralleeliaksiooma eli yhdensuuntaisuusaksiooma: annetun pisteen kautta voidaan piirtää täsmälleen yksi annetun suoran suuntainen suora. Myös muita yhdensuuntaisuuskäsitteitä on matematiikassa kehitetty. On kehitetty esimerkiksi geometrioita, jotka eivät pohjaudu paralleeliaksioomaan. Tällainen epäeuklidinen geometria ei esimerkiksi sisällä lausetta "kolmion kulmien summa on 180 astetta".
Esimerkki tällaisestä tilanteesta: Oletetaan että kolmio on piirretty kaksiulotteiselle tasolle jotka kaartuvat aiheuttaen sen että tasosta tulee pallo. Täten tason/pallon ulkopuolelle piirretty kolmio on kulmien summiltaan yli 180 astetta ja sisäpuolella alle 180 astetta.
Toisaalta reaalilukuihin liittyy myös useita aksioomia. Näitä ovat esimerkiksi vaihdannaisuuslaki, liitännäisyyslaki, nolla-alkio, vasta-alkion olemassaolo sekä säilymislait.