Wikipedia

Kahvikupin muunnos torukseksi

Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee jatkuvuutta, raja-arvoja, kappaleiden muuttumattomia ominaisuuksia, kun niitä venytetään ja väännellään yms.

Siinä, missä geometriassa tärkeitä ovat pituudet ja pinta-alat, geometrinen topologia kiinnittää huomiota muotoon.

Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muutoksella". Tästä anekdootti: "Topologi on matemaatikko, joka ei erota kahvikuppia munkkirinkilästä." (John Kelley, In N. Rose, Mathematical Maxims and Minims)

Teknisenä terminä topologia tarkoittaa topologisen avaruuden avoimien joukkojen kokoelmaa. Topologialta vaaditaan että

• Koko avaruuden perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen
• Topologian joukkojen mielivaltaiset yhdisteet kuuluvat myös topologiaan
• Topologian joukkojen äärelliset leikkaukset kuuluvat myös topologiaan

Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden X topologiaan kuuluvat ainakin alkiot ja X. Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttavat myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös X:n potenssijoukko on eräs X:n topologia, diskreetti topologia. Siten X:n indiskreettitopologia on aina X:n diskreetin topologian osajoukko. Yleisesti jos T₁ ja T₂ ovat joukon X kaksi topologiaa ja , sanotaan että T₁ on karkeampi eli heikompi kuin T₂. Vastaavasti topologia T₂ on hienompi eli vahvempi kuin T₁. Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.

[muokkaa] Käsitteitä

• Avaruus
• Kompaktius
• Yhtenäisyys
• Polkuyhtenäisyys
• Jatkuva kuvaus
• Avoin joukko
• Suljettu joukko
• Homeomorfismi
• Lineaarikuvaus
• Piste
• Täydellisyys
• Algebrallinen topologia

[muokkaa] Katso myös

• Möbiuksen nauha
• Königsbergin siltaongelma